Questão 157 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 157

Probabilidade Análise Combinatória

Ao realizar o cadastro em um aplicativo de investimentos, foi solicitado ao usuário que criasse uma senha, sendo permitido o uso somente dos seguintes caracteres:

algarismos de 0 a 9;
26 letras minúsculas do alfabeto;
26 letras maiúsculas do alfabeto;
6 caracteres especiais !, @, #, $, *, &.

Três tipos de estruturas para senha foram apresentadas ao usuário:

tipo I: formada por quaisquer quatro caracteres distintos, escolhidos dentre os permitidos;
tipo II: formada por cinco caracteres distintos, iniciando por três letras, seguidas por um algarismo e, ao final, um caractere especial;
tipo III: formada por seis caracteres distintos, iniciando por duas letras, seguidas por dois algarismos e, ao final, dois caracteres especiais.

Considere $p_{1}$ , $p_{2}$ e $p_{3}$ as probabilidades de se descobrirem ao acaso, na primeira tentativa, as senhas dos tipos I, li e III, respectivamente.

Nessas condições, o tipo de senha que apresenta a menor probabilidade de ser descoberta ao acaso, na primeira tentativa, é o

a)	tipo I, pois $p_{1} < p_{2} < p_{3}$ .
b)	tipo I, pois tem menor quantidade de caracteres.
c)	tipo II, pois tem maior quantidade de letras.
d)	tipo III, pois $p_{3} < p_{2} < p_{1}$ .
e)	tipo III, pois tem maior quantidade de caracteres.

Resolução

Para determinar as probabilidades, vamos inicialmente, determinar a quantidade de senhas distintas que podem ser formadas de cada tipo.

Tipo I: neste tipo de senha estão disponíveis todos os

$\underset{0 - 9}{\underset{⏟}{10}} + \underset{Minúsculas}{\underset{⏟}{26}} + \underset{Maiúsculas}{\underset{⏟}{26}} + \underset{especiais}{\underset{⏟}{6}} = 68$

caracteres descritos, sendo assim, há

$68 \cdot 67 \cdot 66 \cdot 65 = 19545240$

senhas de 4 caracteres distintos a serem formadas.

Tipo II: os três primeiros caracteres devem ser escolhidos dentre as 52 letras (maiúsculas e minúsculas) logo, o número de senhas deste tipo é dado por:

$\underset{L}{52} \cdot \underset{L}{51} \cdot \underset{L}{50} \cdot \underset{A}{10} \cdot \underset{E s p}{6} = 7956000$

Tipo III:

$\underset{L}{52} \cdot \underset{L}{51} \cdot \underset{A}{10} \cdot \underset{A}{9} \cdot \underset{E s p}{6} \cdot \underset{E s p}{5} = 7160400$

OBS: Observe que, mesmo sem calcular o número de possibilidades de cada tipo, podemos inferir que o número de senhas do tipo I é maior que do tipo II que, por sua vez, é maior que do tipo III.

De fato, ao comparar os tipos I e II, vemos que os 3 primeiros fatores do tipo II são menores que os três primeiros do tipo I e o produto dos dois últimos do tipo II (10 e 6) também é menor que o último do tipo I (65), desta forma do tipo II é menor que do tipo I.
Comparando agora os tipos II e III, temos quatro fatores iguais (52, 51, 10, 6) e o produto dos 2 restantes do tipo III (9 e 5) é menor que o fator restante do tipo II (50).

Ora, a probabilidade de se acertar a senha na primeira tentativa em cada tipo será o inverso dos valores obtidos. Desta forma, quanto mais possibilidades, menor é a probabilidade, ou seja,

$p_{1} < p_{2} < p_{3}$