Questão 164 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 164

Cones Cilindros Tronco de cone

Um artista plástico esculpe uma escultura a partir de um bloco de madeira de lei, em etapas. Inicialmente, esculpe um cone reta com $36 c m$ de altura e diâmetro da base medindo $18 c m$ . Em seguida, remove desse cone um cone menor, cujo diâmetro da base mede $6 c m$ , obtendo, assim, um tronco de cone, conforme ilustrado na figura.

Em seguida, perfura esse tronco de cone, removendo um cilindro reta, de diâmetro $6 c m$ , cujo eixo de simetria é o mesmo do cone original. Dessa forma, ao final, a escultura tem a forma de um tronco de cone com uma perfuração cilíndrica de base a base.

O tipo de madeira utilizada para produzir essa escultura tem massa igual a $0, 6 g$ por centímetro cúbico de volume.

Utilize 3 como aproximação para $π$ .

Qual é a massa, em grama, dessa escultura?

a)	$1198, 8$
b)	$1296, 0$
c)	$1360, 8$
d)	$4665, 6$
e)	$4860, 0$

Resolução

Para determinar a massa solicitada precisamos determinar o volume do sólido em questão.

Comecemos com o volume do cone maior ( $V_{M}$ ).

$V_{M} = \frac{π \cdot 9^{2} \cdot 36}{3} = 81 \cdot 36 = 2916 c m^{3}$

Agora, para o volume do cone menor ( $V_{m}$ ) podemos usar a proporção volumétrica por se tratar de sólidos semelhantes. Perceba que a constante de proporcionalidade pode ser dada pela razão entre os diâmetros.

$\frac{V_{M}}{V_{m}} = {(\frac{18}{6})}^{3}$

$\frac{2916}{V_{m}} = 3^{3}$

$2916 = 27 \cdot V_{m}$

$V_{m} = 108 c m^{3}$

O volume do tronco de cone ( $V_{T}$ ) é dado pela diferença do volume do cone maior e do cone menor.

$V_{T} = V_{M} - V_{m}$

$V_{T} = 2916 - 108$

$V_{T} = 2808 c m^{3}$

Finalmente para o volume do cilindro ( $V_{C}$ ) precisamos primeiramente determinar sua altura e para isso podemos usar a semelhança mais uma vez como ilustrado na figura a seguir:

$\frac{h}{3} = \frac{36}{9} \Rightarrow h = 12 c m$

Assim, a altura do cilindro é dada por: $36 - 12 = 24 c m$

Logo,

$V_{C} = π \cdot 3^{2} \cdot 24 = 3 \cdot 9 \cdot 12 = 648 c m^{2}$

Portanto, o volume desejado ( $V$ ) é dado por:

$V = V_{T} - V_{C}$

$V = 2808 - 648$

$V = 2160 c m^{3}$

Como temos que a massa é igual a $0, 6 g$ por metro cúbico, a massa ( $m$ ) é de:

$m = 0, 6 \cdot 2160$

$m = 1296 g$