Questão 170 Enem 2023 - dia 2 - Matemática e Ciências da natureza

Questão 170

Matemática Financeira

Uma loja vende seus produtos de duas formas: à vista ou financiado em três parcelas mensais iguais. Para definir o valor dessas parcelas nas vendas financiadas, a loja aumenta em 20% o valor do produto à vista e divide esse novo valor por 3. A primeira parcela deve ser paga no ato da compra, e as duas últimas, em 30 e 60 dias após a compra.

Um cliente da loja decidiu comprar, de forma financiada, um produto cujo valor à vista é R$ 1 500,00.

Utilize 5,29 como aproximação para $\sqrt{28}$ .

A taxa mensal de juros compostos praticada nesse financiamento é de

a)	6,7%
b)	10%
c)	20%
d)	21,5%
e)	23,3%

Resolução

O valor total a prazo é 20% maior do que o valor à vista, ou seja:

$(1 + \frac{20}{100}) \cdot 1500 = 1, 2 \cdot 1500 = R$ 1.800, 00$

Assim, cada parcela na compra a prazo terá o valor de:

$\frac{1800}{3} = R$ 600, 00$ ,

uma no ato da compra, e as demais, em 1 e 2 meses após a compra.

Para analisar a taxa de juros ( $i$ ) na compra a prazo, podemos utilizar a ideia de valor presente de cada parcela, no ato da compra, que se fosse feita totalmente à vista, teria o valor de R$ 1.500,00:

$1500 = 600 + \frac{600}{{(1 + i)}^{1}} + \frac{600}{{(1 + i)}^{2}}$

Nesse caso, $\frac{600}{{(1 + i)}^{1}}$ e $\frac{600}{{(1 + i)}^{2}}$ são os respectivos valores presentes da 2ª e 3ª prestações de R$ 600,00, caso ela fossem antecipadas para o ato da compra. Assim:

$1500 = 600 + \frac{600}{{(1 + i)}^{1}} + \frac{600}{{(1 + i)}^{2}} \Leftrightarrow 900 = \frac{600 \cdot (1 + i) + 600}{{(1 + i)}^{2}} \Leftrightarrow$

$900 \cdot {(1 + i)}^{2} - 600 \cdot (1 + i) - 600 = 0$

Dividindo ambos os membros dessa igualdade por 300, vem que:

$3 \cdot {(1 + i)}^{2} - 2 \cdot (1 + i) - 2 = 0$ ,

Tratando tal equação como uma equação do segundo grau na incógnita $(1 + i)$ , segue que:

$1 + i = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{2 \pm \sqrt{28}}{6} \approx \frac{2 \pm 5, 29}{6}$

Descartando a opção proveniente da opção com o sinal de menos, pois $(1 + i)$ deve ser maior que 1, ficamos com:

$1 + i \approx \frac{2 + 5, 29}{6} = 1, 215 \Leftrightarrow i \approx 0, 215 \Leftrightarrow i \approx 21, 5 %$