Questão 4 Unicamp 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Movimento Uniforme Período / Frequência Lentes Equação de Snell

Num processo de produção de chips, usa-se luz gerada pelo plasma de uma gota de estanho. Essa luz é usada para gravar o desenho dos dispositivos em uma superfície.

a) Para garantir que uma gota não interfira no plasma de outra, elas devem ser injetadas, em intervalos de tempo bem definidos, na máquina que faz a escrita dos chips. Sabendo que a velocidade das gotas é $v = 80 m / s$ , e que elas são injetadas a uma frequência $f = 50 k H z$ , qual a distância $∆ s$ entre duas gotas consecutivas?

b) Para a escrita dos chips, uma lente objetiva é utilizada na focalização de um feixe luminoso na superfície. A figura A ilustra dois raios luminosos incidindo paralelamente ao eixo óptico de uma lente convergente de diâmetro $D = 6, 0 m m$ e distância focal $F = 4, 0 m m$ , imersa no ar $(n_{a r} = 1)$ . Para mudar a trajetória do feixe luminoso e melhorar o processo de gravação, usa-se um líquido entre a lente e a superfície. A figura B representa uma situação similar à da figura A, com os raios que emergem da lente adentrando um meio líquido. Qual é o índice de refração $n_{2}$ do líquido?

Resolução

a) A figura abaixo ilustra uma sequência de gotas de estanho.

Na figura, t₀, t₁, t₂ e t₃ são os instantes de tempo em que cada gota é liberada na sequência de pulsos. Note, ainda, que,

$t_{1} = t_{0} + ∆ t,$

$t_{2} = t_{1} + ∆ t,$

e assim por diante. Em outras palavras, o intervalo de tempo entre uma gota e a seguinte ser produzida é uma constante e define a frequência f de geração destas gotas. Mais do que isso, este tempo $∆ t$ corresponde ao período de repetição do sistema de geração de gotas de estanho, de forma que podemos dizer que

$∆ t \equiv T = \frac{1}{f} \Rightarrow$

$∆ t = \frac{1}{50 \cdot 10^{3}} \Rightarrow$

$∆ t = 0, 02 \cdot 10^{- 3} s \Rightarrow$

$∆ t = 2 \cdot 10^{- 5} s .$

Desta forma, a distância d indicada na figura, pode ser calculada por uma relação de movimento uniforme, sendo

$d = v \cdot ∆ t \Rightarrow$

$d = 80 \cdot 2 \cdot 10^{- 5} \Rightarrow$

$d = 160 \cdot 10^{- 5} m \Rightarrow$

$d = 1, 6 mm .$

b) Veja a figura (B)

Da lei de Snell-Descartes temos que

$n_{1} \cdot sen i = n_{2} \cdot sen r .$

Para descobrirmos os senos dos ângulos de incidência e refração, precisamos trabalhar com algumas relações trigonométricas e geométricas. Note ainda que os ângulos de incidência e refração são $θ_{1} e θ_{2}$ , respectivamente. Isso nos permite concluir que

$sen r = sen θ_{2} = \frac{c}{h} \Rightarrow$

$sen θ_{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} .$

Veja a figura (A) adaptada abaixo:

Os raios de luz que chegam à lente são paralelos entre si, de forma que convergem para o foco, distante 4 cm de seu vértice, conforme a figura. Já o diâmetro da lente é de 6 mm, de forma que a distância de seu vértice ao ponto A, definido na figura, corresponde a 3 mm. Com isso, do teorema de Pitágoras, é possível concluir que a distância entre o ponto A e o foco é de 5 mm.

A partir desta construção geométrica, podemos concluir que

$sen i = sen θ_{1} = \frac{3}{5} .$

Substituindo os dados na lei de Snell, obtemos

$n_{1} \cdot sen i = n_{2} \cdot sen r \Rightarrow$

$1 \cdot \frac{3}{5} = n_{2} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow$

$n_{2} = \frac{6}{5} \Rightarrow$

$n_{2} = 1, 2 .$