Questão 5 Unicamp 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 5

Capacitor Plano Fendas múltiplas

a) Parte de um dispositivo pertencente a um chip pode ser descrita como sendo formada por duas placas condutoras paralelas de área $A = 2, 0 µ m^{2}$ , separadas por um material dielétrico de espessura $e = 0, 1 µ m$ e constante dielétrica $K ≃ 4$ . Esse conjunto forma um capacitor (ver figura), cuja capacitância $C$ é diretamente proporcional à área das placas $(A)$ e inversamente proporcional à espessura do dielétrico $(e)$ , sendo o fator de proporcionalidade dado por $K \cdot ε_{0}$ , com $ε_{0} = 9 \times 10^{- 12} F / m$ .

Pede-se:

i) a capacitância $C$ do referido capacitor;

ii) a carga armazenada nas placas quando o capacitor é submetido a uma diferença de potencial $V = 5, 0 V$ .

b) Na gravação de chips, grades de difração são usadas para a seleção de comprimentos de onda de feixes luminosos. A grade é formada por reentrâncias que dispersam a luz em diferentes direções (ângulos $θ$ no diagrama apresentado no espaço de resposta) em função do comprimento de onda. Quando a luz incide perpendicularmente à grade, a relação entre o comprimento de onda $λ$ e o ângulo de difração $θ$ é dada por $d \cdot sen θ = m λ$ , sendo $d$ o espaçamento entre as reentrâncias da grade e $m = 1, 2, 3 . . .$ .No diagrama, são representados dois feixes de laser, um deles de comprimento de onda $λ_{1} = 192 n m$ , e outro de comprimento $λ_{2}$ a ser determinado.

Fazendo uso do diagrama e da Tabela 1, complete corretamente a Tabela 2, apresentada no espaço de respostas, da seguinte maneira:

i) preencha a primeira linha e determine $d$ ;

ii) preencha a segunda linha e determine o comprimento de onda $λ_{2}$ .

Resolução

i) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por

$C = \frac{K \cdot ε_{0} \cdot A}{e} .$

Substitunido os dados do enunciado:

$C = \frac{4 \cdot 9 \cdot 10^{- 12} \cdot 2 \cdot {(10^{- 6})}^{2}}{0, 1 \cdot 10^{- 6}} \Rightarrow$

$C = \frac{72 \cdot 10^{- 24}}{0, 1 \cdot 10^{- 6}} \Rightarrow$

$C = 7, 2 \cdot 10^{- 16} F .$

O fator ${(10^{- 6})}^{2}$ corresponde à conversão de $μ m^{2}$ para $m^{2}$ .

ii) Já a carga do capacitor é dada pela relação

$Q = C \cdot U .$

Substituindo os dados em unidades do SI:

$Q = 7, 2 \cdot 10^{- 16} \cdot 5 \Rightarrow$

$Q = 3, 6 \cdot 10^{- 15} C .$

b) Destacamos abaixo a tabela do enunciado com as linhas necessárias no desenvolvimento que se segue.

i) Veja a figura abaixo, com destaque para as informações relevantes para o preenchimento da primeira linha da tabela, com m = 2 e y = 0,28 m.

A tangente do ângulo $θ$ correspondente é dada por

$tg θ = \frac{y}{D} \Rightarrow$

$tg θ = \frac{0, 28}{0, 5} = 0, 56 .$

Da tabela, verifica-se que o seno correspondente é

$sen θ = 0, 48 .$

Por fim, a distância entre duas reentrâncias consecutivas é dada por, aplicando a equação do enunciado:

$d \cdot sen θ = m \cdot λ_{1} \Rightarrow$

$d \cdot 0, 48 = 2 \cdot 192 \cdot 10^{- 9} \Rightarrow$

$d = 800 nm .$

ii) Para a segunda linha da tabela, verificamos que na figura abaixo que

$y = 0, 17 m .$

Portanto, a tangente será dada por

$tg θ = \frac{y}{D} \Rightarrow$

$tg θ = \frac{0, 17}{0, 5} = 0, 34 .$

Da tabela adaptada no início desta resolução, o seno correspondente é

$sen θ = 0, 33 .$

Por fim, podemos calcular o comprimento de onda $λ_{2}$ pela relação

$d \cdot sen θ = m \cdot λ_{2} \Rightarrow$

$800 \cdot 10^{- 9} \cdot 0, 33 = 1 \cdot λ_{2} \Rightarrow$

$λ_{2} = 264 nm .$

Indicamos a tabela da folha de respostas preenchida abaixo.

$λ (nm)$	m	y(m)	$tg θ$	$sen θ$	d(nm)
192	2	0,28	0,56	0,48	800
264	1	0,17	0,34	0,33	---