Questão 3 Unicamp 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Função Quadrática

Considere a função $y = f (x) = k \cdot x^{2} + b \cdot x + 4$ .

a) Para $k = - 1$ , determine o(s) valor(es) de $b$ para os quais o gráfico de $y = f (x)$ é simétrico com respeito ao eixo $y$ . Para este(s) valor(es) de $b$ , resolva $f (x) = 0$ .

b) Agora, para $k = 1$ e $b = - 3$ , determine a distância entre o vértice da parábola $y = f (x)$ e a origem $(0, 0)$ .

Resolução

a) Para que o gráfico de $y = f (x)$ seja simétrico em relação ao eixo $y$ , é necessário que a função seja par. Isto é:

$f (- x) = f (x)$ .

Substituindo $k = - 1$ e calculando:

$- {(- x)}^{2} + b \cdot (- x) + 4 = - x^{2} + b x + 4 \Rightarrow$

$- x^{2} - b x + 4 = - x^{2} + b x + 4 \Rightarrow$

$- b x = b x \Rightarrow$

$2 b x = 0$

Como a equação deve valer para todos os valores do domínio, então $b = 0$ .

Dessa forma, a equação $f (x) = 0$ fica:

$- x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 o u x = - 2$

b) Substituindo os valores de $k$ e $b$ , temos a função:

$f (x) = x^{2} - 3 x + 4$

Para o vértice da parábola:

(1) $x_{V}$ :

$x_{V} = - \frac{(- 3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}$

(2) $y_{V}$

$y_{V} = - \frac{[{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4]}{4 \cdot 1} = - \frac{(- 7)}{4} = \frac{7}{4}$

Logo, a distância do vértice à origem é:

$d_{V, O} = \sqrt{{(\frac{3}{2} - 0)}^{2} + {(\frac{7}{4} - 0)}^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{85}{16}} = \frac{\sqrt{85}}{4}$