Questão 2 Unicamp 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 2

Função Inversa

Considere a função

$f (x) = \frac{a x - 1}{2 x + 3}$

a) Para $a = 0$ , calcule $f^{- 1} (\frac{3}{5})$ .

b) Determine o(s) valore(es) de $a$ para que $f (f (1)) = 1$ .

Resolução

a) Para $a = 0$ , temos $f (x) = \frac{- 1}{2 x + 3}$ .

Assim:

$f^{- 1} (\frac{3}{5}) = k \Leftrightarrow f (k) = \frac{3}{5} \Leftrightarrow \frac{- 1}{2 k + 3} = \frac{3}{5} \Leftrightarrow$

$2 k + 3 = - \frac{5}{3} \Leftrightarrow 2 k = - \frac{5}{3} - 3 \Leftrightarrow 2 k = - \frac{14}{3} \Leftrightarrow$

$k = - \frac{7}{3} \Leftrightarrow f^{- 1} (\frac{3}{5}) = - \frac{7}{3}$

b) Temos que:

$f (1) = \frac{a \cdot 1 - 1}{2 \cdot 1 + 3} = \frac{a - 1}{5}$

Assim:

$f (f (1)) = 1 \Leftrightarrow f (\frac{a - 1}{5}) = 1 \Leftrightarrow \frac{a \cdot (\frac{a - 1}{5}) - 1}{2 \cdot (\frac{a - 1}{5}) + 3} = 1 \Leftrightarrow$

$\frac{a^{2} - a - 5}{5} = \frac{2 a - 2 + 15}{5} \Leftrightarrow a^{2} - 3 a - 18 = 0 \Leftrightarrow a = 6 ou a = - 3$