Questão 3 Unicamp 2024 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 3

Volume do Prisma Volume (Pirâmide) Conceitos Primitivos e Geometria de Posição

A figura abaixo mostra uma pirâmide e um cubo, que compartilham uma aresta da base da pirâmide. A pirâmide tem altura medindo 1 m; sua base, bem como os lados do cubo, são quadrados de lados medindo 1 m.

a) Um sólido é formado pela união desses dois objetos. Qual é o seu volume?

b) Determine a distância do ponto $A$ (vértice superior da pirâmide) até o ponto $B$ (vértice “frontal” da base do cubo que não está na aresta em comum com a pirâmide).

Resolução

a) O volume de uma pirâmide de área da base $A_{B}$ e altura $h$ é:

$V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} \cdot A_{B} \cdot h$

Já o volume de um cubo de aresta $a$ é:

$V_{c u b o} = a^{3}$

A pirâmide do enunciado possui altura $h = 1 m$ e base quadrada de lado $1 m$ , ou seja, $A_{B} = 1 m^{2}$ . Então, seu volume é:

$V_{p i r â m i d e} = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{3} m^{3}$

Por outro lado, o cubo possui arestas de medida $a = 1 m$ . Logo:

$V_{c u b o} = 1^{3} = 1 m^{3}$

Portanto, o volume $V$ do sólido obtido pela união da pirâmide e do cubo é:

$V = V_{p i r â m i d e} + V_{c u b o} = \frac{1}{3} + 1 \Leftrightarrow V = \frac{4}{3} m^{3}$

b) Sejam $C$ o centro da base da pirâmide e $D$ o ponto médio da aresta da base da pirâmide, como na figura a seguir.

O triângulo $B C D$ é retângulo em $D$ e tem medidas

$B D = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} m$ e $C D = \frac{1}{2} m$

Então, pelo Teorema de Pitágoras no triângulo $B C D$ :

$B C^{2} = B D^{2} + C D^{2} = {(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{10}{4}$

Também pelo Teorema de Pitágoras, agora no triângulo $A B C$ :

$A B = \sqrt{B C^{2} + A C^{2}} = \sqrt{\frac{10}{4} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{14}{4}} \Leftrightarrow A B = \frac{\sqrt{14}}{2} m$