Questão 6 Unicamp 2024 - 2ª fase - dia 2

a) Se $b$ é um inteiro par, então $b=2q$, para algum $q$ inteiro. Assim:

$c=\frac{2a+b^2-1}{4a+3b}=\frac{2a+{\left(2q\right)}^2-1}{4a+3·2q}=\frac{2·\left(a+2q^2\right)-1}{2·\left(2a+3q\right)}$

Nesse caso, lembrando que soma, subtração e multiplicação de números inteiros resulta em número inteiro, temos que:

• o numerador é resultado da subtração entre um número par e um número ímpar, logo é um número ímpar;
• o denominador é um número par.

Porém, um número ímpar, dividido por um número par, nunca resultará num número inteiro (a divisão nunca será exata), de modo que ímpossível que $c$ seja inteiro se $b$ for par.

b) Temos que:

$c⩽\frac{1}{2}\iff \frac{2a+b^2-1}{4a+3b}⩽\frac{1}{2}$

Sendo $a$ e $b$ inteiros positivos, de modo que $4a+3b$ também é positivo, ao multiplicarmos ambos os membros da desigualdade por $2·\left(4a+3b\right)$, o sinal da inequação se mantém:

$\left(\frac{2a+b^2-1}{4a+3b}\right)·2·\left(4a+3b\right)⩽\frac{1}{2}·2·\left(4a+3b\right)\iff$

$4a+2b^2-2⩽4a+3b\iff 2b^2-3b-2⩽0$

Tal inequação, quando resolvida graficamente em $\mathrm{ℝ}$, apresenta a seguinte solução.

Sendo $b$ um número inteiro positivo, no intervalo $-\frac{1}{2}⩽b⩽2$, ficamos com as opções:

$\boxed{b=1 \mathrm{ou} b=2}$