Questão 54 Unicamp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 54

Razão e Proporção

Sr. Gauss tem uma pizzaria, chamada $π - z z a r i a$ , que vende dois tipos de pizzas circulares: uma individual, de diâmetro $d$ ; e uma de $20 c m$ de diâmetro, partida em quatro pedaços iguais.

Considerando que o preço de uma pizza é proporcional à sua área, qual precisa ser o valor de $d$ para que quatro pizzas individuais custem o mesmo que a pizza mencionada, de quatro pedaços?

a)	$6 c m$ .
b)	$8 c m$ .
c)	$10 c m$ .
d)	$12 c m$ .

Resolução

Se $P$ é o preço de uma pizza circular cuja área é $A$ , então a razão $\frac{P}{A}$ é constante, pois o preço da pizza é proporcional à sua área.

Seja $P_{1}$ o preço da pizza circular cujo diâmetro é $d$ e seja $A_{1}$ sua área. Temos que

$A_{1} = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2}$ .

Seja $P_{2}$ o preço da pizza circular cujo diâmetro é de $20 cm$ e seja $A_{2}$ sua área. Temos que

$A_{2} = π \cdot 10^{2} = 100 π {cm}^{2}$ .

Assim, obtemos:

$\frac{P_{1}}{A_{1}} = \frac{P_{2}}{A_{2}} (I)$ .

Queremos que $4 P_{1} = P_{2}$ . Assim, a proporção $(I)$ fica

$\frac{P_{1}}{A_{1}} = \frac{4 P_{1}}{A_{2}} \Leftrightarrow$ $A_{2} = 4 \cdot A_{1} (II)$ .

Substituindo os valores de $A_{1}$ e $A_{2}$ em $(II)$ , temos:

$100 π = 4 \cdot π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2}$

$\Rightarrow {(\frac{d}{2})}^{2} = \frac{100}{4} = 25$

$\Rightarrow \frac{d}{2} = \sqrt{25} = 5$

$\Rightarrow d = 10 cm$ .