Questão 57 Unicamp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 57

Função Quadrática

Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem $2 m$ de largura e seu ponto mais alto está a $2, 5 m$ do chão, conforme figura a seguir.

Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de $1 m$ de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna?

a)	$\frac{11}{8}$ .
b)	$\frac{13}{8}$ .
c)	$\frac{15}{8}$ .
d)	$\frac{17}{8}$ .

Resolução

Primeiramente vamos determinar a posição dos eixos coordenados.
Assumindo como origem do plano cartesiano o ponto médio da largura da entrada da caverna, tem-se a seguinte figura:

A parábola tem como raízes os pontos $1$ e $- 1$ , corta o eixo y no ponto $(0; \frac{5}{2})$ e buscamos a ordenada para $x = \frac{1}{2}$ .

Para determinar a parábola, iremos utilizar o formato fatorado:

$f (x) = a (x - 1) (x - (- 1)) = a (x - 1) (x + 1)$

$f (x) = a (x - 1) (x + 1)$

$f (x) = a (x^{2} - 1)$

Para $x = 0 \Rightarrow f (0) = \frac{5}{2}$ , logo:

$a (0^{2} - 1) = \frac{5}{2} \Rightarrow a = - \frac{5}{2}$

Então;

$f (x) = - \frac{5}{2} (x^{2} - 1)$ .

Fazendo $x = \frac{1}{2}$ :

$f (x) = - \frac{5}{2} ({(\frac{1}{2})}^{2} - 1) = - \frac{5}{2} \cdot (\frac{1}{4} - 1) = (- \frac{5}{2}) (- \frac{3}{4}) = \frac{15}{8}$

Portanto, a altura máxima que a caixa pode passar é $\frac{15}{8} m$