Questão 58 Unicamp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 58

Desigualdade Triangular

Joaquim estava brincando com um graveto, quando acertou uma parede e o graveto se partiu em três pedaços, de comprimentos $a, b, c$ , com $a \leq b \leq c$ . Ele recolheu os pedaços e tentou construir um triângulo cujos lados seriam exatamente os pedaços do graveto: não foi possível. Sabendo que o graveto tinha $50 c m$ de comprimento e que $b = a + 2$ , qual é o maior valor possível de $a$ ?

a)	$9, 5 c m$ .
b)	$10, 5 c m$ .
c)	$11, 5 c m$ .
d)	$12, 5 c m$ .

Resolução

Pelo enunciado temos o seguinte dado $a \leq b \leq c$ , e buscamos uma relação entre os comprimentos $a$ , $b$ e $c$ de modo que não seja possível formar um triângulo.
Como $c$ é a medida maior ou igual do que os outros segmentos, para que o triângulo exista temos que $c < a + b$ . Mas queremos que essa condição seja falsa, logo, buscamos o seguinte:

$c \geq a + b$

Como $b = a + 2$ , então

$c \geq a + a + 2 \Rightarrow c \geq 2 a + 2$

Sabemos também que o tamanho do graveto é $50 cm$ , logo:

$a + b + c = 50 \Rightarrow a + a + 2 + c = 50 \Rightarrow c = 48 - 2 a$

Substituindo $c$ na inequação:

$48 - 2 a \geq 2 a + 2 \Rightarrow - 4 a \geq - 46 \Rightarrow 4 a \leq 46 \Rightarrow a \leq 11, 5$

Portanto, o maior valor possível para $a$ é $11, 5 c m$ .