Questão 62 Unicamp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 62

Conceitos iniciais de funções Soma dos Termos P.A.

Seja $p (x) = x + 2024$ .

A equação $p (x) + p (2 x) + p (3 x) + . . . + p (2023 x) + p (2024 x) = 0$ tem uma solução $x$ que satisfaz:

Resolução

Partindo da equação tem-se que:

$p (x) + p (2 x) + p (3 x) + . . . + p (2024 x) = 0$

$x + 2024 + 2 x + 2024 + 3 x + 2024 + . . . + 2024 x + 2024 = 0$

$x \cdot (1 + 2 + 3 + . . . + 2024) + 2024 \cdot 2024 = 0$

$x \cdot \frac{(1 + 2024) \cdot 2024}{2} = - 2024^{2}$

$2025 \cdot x = - 2 \cdot 2024$

$x = - 2 \cdot (\frac{2024}{2025})$

Como $0 < \frac{2024}{2025} < 1$ , então, multiplicando a inequação por $- 2$ :

$0 > - 2 \cdot (\frac{2024}{2025}) > - 2$

$0 > x > - 2$

Portanto, $- 2 < x < 0$ .