Questão 63 Unicamp 2024 - 1ª fase

A área de um trapézio pode ser calculada como $A_{Trapézio}=\frac{\left(B+b\right)·h}{2}$, onde $B$ e $b$ são as medidas de suas bases e $h$ é a medida de sua altura.

No trapézio $ABCD$ conhecemos as medidas das bases $AB=1$ e $CD=5$ e resta encontrar a altura $h$ para calcular sua área.

Como $N$ é ponto médio do lado $BC$, a distância do ponto $N$ até a reta suporte do lado $AB$ é $\frac{h}{2}$ (metade da altura do trapézio). Além disso, essa é a altura do triângulo $MBN$ relativa ao lado $MB$.

Sabendo que $BM=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}$, que a área do triângulo $MBN$ é $1$ e que esta pode ser calculada como metade do produto de um de seus lados pela respectiva altura, concluímos que

$\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}·{\displaystyle \frac{h}{2}}}{2}=1 \iff \frac{h}{8}=1 \iff \boxed{h=8}$

Portanto, a área do trapézio $ABCD$ é

$\boxed{A_{ABCD}=\frac{\left(5+1\right)·8}{2}=24 \text{u. a.}}$