Questão 64 Unicamp 2024 - 1ª fase

Temos que:

$f\left(g\right(x\left)\right)=2·g\left(x\right)+c=2·(5-6x)+c$

$\Rightarrow f\left(g\right(x\left)\right)=-12x+10+c$.

Sendo $P$ o ponto de interseção do gráfico de $f\left(g\right(x\left)\right)$ com o eixo $y$, então as coordenadas do ponto $P$ são da forma $\left(0, y_P\right)$, em que $y_P=f\left(g\right(0\left)\right)$. Assim,

$\boxed{y_p=f\left(g\right(0\left)\right)=10+c}$.

Logo, as coordenadas de $P$ são $\left(0, 10+c\right)$.

Temos também que

$g\left(f\right(x\left)\right)=5-6·f\left(x\right)=5-6·(2x+c)$

$\Rightarrow g\left(f\right(x\left)\right)=-12x+5-6c$.

Analogamente, sendo $Q$ o ponto de interseção do gráfico de $g\left(f\right(x\left)\right)$ com o eixo $y$, então a ordenada do ponto $Q$ é $y_Q=g\left(f\right(0\left)\right)$. Assim,

$\boxed{y_Q=g\left(f\right(0\left)\right)=5-6c}$.

Logo, o ponto $Q$ tem coordenadas $\left(0, 5-6c\right)$.

Note que as abscissas dos pontos $P$ e $Q$ são nulas. Logo, para que a origem seja o ponto médio do segmento $\overline{PQ}$, basta que

$\frac{y_P+y_Q}{2}=0$

$\Rightarrow \frac{10+c+5-6c}{2}=0$

$\Rightarrow 15-5c=0$

$\Rightarrow \boxed{c=3}$.