Questão 65 Unicamp 2024 - 1ª fase - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 65

Losango Teorema dos Cossenos

No losango abaixo, qual é a medida do comprimento do segmento $B E$ ?

a)	$\sqrt{26}$ .
b)	$\sqrt{27}$ .
c)	$\sqrt{28}$ .
d)	$\sqrt{29}$ .

Resolução

Em um losando, dois ângulos internos consecutivos são suplementares. Como $m (B \hat{A} D) = 60 °$ , segue que $m (A \hat{D} C) = 180 ° - 60 ° = 120 °$ .

Temos também que em um losango, dois ângulos internos opostos são congruentes. Dessa forma, $m (B \hat{C} D) = 60 °$ .

Sabe-se que as diagonais de um losango são bissetrizes dos ângulos internos. Sendo assim, ao traçar a diagonal $\bar{B D}$ , temos que $m (B \hat{D} A) = m (B \hat{D} C) = 60 °$ , fazendo com que o triângulo $B C D$ seja equilátero.

Sendo $B C D$ um triângulo equilátero, temos que $\bar{B F}$ é altura relativa ao lado $\bar{C D}$ e que o ponto $F$ é ponto médio do lado $\bar{C D}$ . Dessa forma, temos:

$C D = 3 + 3 = 6$ .

Como $\bar{C D}$ é lado do triângulo equilátero $B C D$ , segue que $B D = 6$ .

Aplicando a lei dos cossenos no triângulo $B D E$ , temos:

$B E^{2} = 2^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot \cos 60 °$

$\Rightarrow B E^{2} = 40 - 12 = 28$

$\Rightarrow B E = \sqrt{28}$