Questão 4 Unicamp 2023 - 2ª fase - dia 2 - Elite Colégio e Pré-Vestibular

Questão 4

Função Quadrática Equações e Inequações (Função Quadrática)

Sejam $a$ , $b \in ℝ$ com $a \neq 0$ e $f (x) = a x^{2} + b x - 3$ uma função polinomial.

a) Determine $a$ , $b$ de forma que o vértice da parábola $y = f (x)$ seja $(- 1, - 4)$ .

b) Para $a = - 2$ , determine todos os valores de $b$ de forma que a parábola e a reta $y = 2 x - 1$ se interceptem em dois pontos distintos.

Resolução

a) Como o vértice da parábola tem que ser o par ordenado $(- 1, - 4)$ , segue que:

$x_{v} = - 1 \Leftrightarrow - \frac{b}{2 a} = - 1 \Leftrightarrow b = 2 a$

Além disso, temos que $f (- 1) = - 4$ . Logo:

$a \cdot {(- 1)}^{2} + b \cdot (- 1) - 3 = - 4 \Leftrightarrow a - b = - 1$

Assim:

$\{\begin{array}{l} b = 2 a \\ a - b = - 1 \end{array} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \end{cases}$

b) Se $a = - 2$ , então $f (x) = - 2 x^{2} + b x - 3$ .

Para determinar todos os valores de $b$ solicitados, devemos ter $f (x) = y$ , onde $y = 2 x - 1$ .

Dessa forma, temos que:

$- 2 x^{2} + b x - 3 = 2 x - 1 \Leftrightarrow 2 x^{2} + (2 - b) x + 2 = 0$

Como a parábola e a reta devem se interceptar em dois pontos distintos, a equação do segundo grau acima deve ter duas raízes reais distintas, o que equivale a impor que o discriminante da equação acima deve ser maior que zero. Portanto,

$∆ > 0 \Leftrightarrow {(2 - b)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 2 > 0 \Leftrightarrow b^{2} - 4 b - 12 > 0$

A expressão à esquerda na última inequação, cujas raízes são $- 2$ e $6$ , tem como gráfico a seguinte parábola:

Estudando-se o sinal da inequação acima, tem-se que:

$b < - 2 ou b > 6 .$